Was ist ein Vektor

Beginnen Sie mit den Grundbegriffen der Vektorberechnung. In der linearen Algebra ist ein Vektor (lat. Vektor „Träger, Treiber“) ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert werden kann, die Skalare genannt werden. Die Vektoren sind Listen von Zahlen. Neben einem bestimmten Betrag haben sie auch eine Richtung und werden daher durch Pfeile dargestellt. Es werden die Einträge eines Vektors aufgerufen.

Überträger

Ein Vektor (lat. Vektor „Träger, Treiber“) ist in der Linearalgebra ein Bestandteil eines Vektorraumes, d.h. ein Gegenstand, der zu anderen Vektorformen hinzufügt und mit so genannten Skalaren vervielfacht werden kann. In diesem allgemeinen Sinne werden im Beitrag Vektor-Raum die vektoriellen Eigenschaften diskutiert.

Ein Vektor ist im engen Sinn, in der Analysegeometrie, ein mathematischer Gegenstand, der eine parallele Verschiebung in der Fläche oder im Weltraum bezeichnet. Der Vektor kann durch einen Zeiger repräsentiert werden, der ein Original-Pixel mit seinem Pixel verknüpft. Gleich lange, parallele und gleichgerichtete Pfeiltasten bezeichnen den gleichen Vektor.

Bei kartesianischen Koordinatensystemen werden die Vektorwerte durch Zahlpaare (in der Ebene) oder durch die Zahlentripel (im Raum) wiedergegeben. Es können vektorielle Werte hinzugefügt und mit realen Werten (Skalaren) vervielfacht werden. dimensionaler reeller vektorieller Bereich ist ein isomorpher zum Vektorenbereich. Anwendungsbeispiele für das Vektor-Konzept sind vor allem in der Business-Mathematik zu sehen.

In diesem Beitrag geht es hauptsächlich um geometrische Vektorformen und um Vektorformen als Elemente des „Tupelraums“. Die vektoriellen Grössen sind in enger Beziehung zu den Geometrievektoren der physikalischen Wissenschaft. Dies sind physische Grössen, die einen Wert und eine Ausrichtung haben und oft durch Pfeiltasten wiedergegeben werden.

Gegründet wurde die vektorielle Berechnung von Herrmann Günther Gräßmann, der 1844 seine Rulers Expansion Theory herausgab, ein über 300-seitiges Werk. Die Verbreitung der vektoriellen Berechnung erfolgte in der Bundesrepublik vor allem durch Vorträge und Lehrbücher von Prof. Dr. Alfred Bucherer, Prof. Dr. med. Dr. August Vöppl, Prof. Dr. med. Karl K. Funge, Prof. Dr. med. v. Ing. Dr. Ignatowsky und Prof. Dr. med. Dr. med. Richard Gustav H uber. Joachim Schröder. Ein lateinischer Anfangsbuchstabe ohne Vektorbezeichnung steht in der Regel für die Größe des Vektors: .

Formell können daher folgende Definitionen vorgenommen werden: Die beiden Pfeiltasten werden als gleichwertig bezeichnet, wenn sie gleich lang und gleichgerichtet sind. Damit wird eine Äquivalenzbeziehung auf der Pfeilebene oder des Raumes festgelegt. Diese Äquivalenzklasse wird als Vector bezeichnet. Sie können auch einen Vektor mit seiner parallelen Verschiebung ausweisen.

„Vektor “ ist dann nur eine andere Art, für „Parallelverschiebung“ zu sprechen. zeigt nach oben“, oder: „Der Vektor schließt an und….“. In diesem Falle wird der Mittelpunkt als Welle, Start- oder Anfangspunkt und die Endspitze oder der Anfangspunkt des Vektorpfeiles bezeichne. Die Entfernung zwischen den beiden Punkten wird als Vektorlänge oder -menge bezeichne.

Er ist der einzige Vektor, der nicht graphisch durch einen Zeiger repräsentiert werden kann der Koordinatennullpunkt, der den Ausgangspunkt für alle Standortvektoren ist. Zur Unterscheidung werden die im vorigen Kapitel beschriebenen Vektorformen auch als Richtvektoren oder Richtvektoren oder Richtvektoren genannt. Die beiden Richtungvektoren sind gleich, wenn sie den selben Wert und die selbe Ausrichtung haben.

Die Richtungsvektoren geben die Ausrichtung der Gerade an. Ist wie in der obigen Grafik ein lineares System angegeben, kann ein Vektor der Fläche durch ein ordentliches Zahlpaar, ein Vektor im Weltraum durch ein Triplett von Zahlen dargestellt werden. Im Regelfall werden diese Daten als so genannte Säulenvektoren ineinandergesteckt. Der Vektor in der Fläche, der die Verlagerung um 7 Maßeinheiten nach links (in -Richtung) und 3 Maßeinheiten nach oben (in -Richtung) bezeichnet, wird mit .

Dieser Vektor bezeichnet eine Verlagerung um 2 Stück in -Strichtung und -5 Stück in -Strichtung, d.h. um 2 Stück nach links und 5 Stück nach links. Der Vektor bezeichnet also im Weltraum eine Verdrängung um 3 Maßeinheiten in -Strichtung, 2 Maßeinheiten in Negativrichtung und 4 Maßeinheiten in -Strichtung.

Ein Vektor kann als Unterschied zwischen den beiden Punkten berechnet werden. In obigem Beispiel und den Koordinatendaten und . Dann werden die Koordinate des Anschlussvektors wie folgend berechnet: Das Hinzufügen von zwei Geometrievektoren korrespondiert mit der sukzessiven Ausführung der dazugehörigen Auslenkungen. Wenn der Vektor die Verlagerung darstellt, die den Mittelpunkt auf den Mittelpunkt darstellt, und die zugehörige Verlagerung auf den Mittelpunkt abgebildet wird, wird die Verlagerung beschrieben:

Aus geometrischer Sicht können also zwei weitere Vektorgrafiken hinzugefügt werden, indem die beiden mit Pfeilen dargestellt werden, so dass der Ausgangspunkt des zweiten Pfeiles mit dem Ende des ersten Pfeiles identisch ist. Die beiden Vektorgrafiken werden aber auch durch Pfeiltasten mit einem einheitlichen Ausgangspunkt dargestellt und zu einem Paralleldiagramm vervollständigt. Die Diagonalpfeil vom allgemeinen Ausgangspunkt zur entgegengesetzten Kante repräsentiert dann die Addition der beiden Vektorwerte.

Die Assoziations- und Kommutationsgesetze beziehen sich auf die Hinzufügung von Vektorgrafiken. Da der Vektor, der zu just. Wenn und durch die Pfeiltasten mit dem gleichen Startpunkt, wird der Bogen vom Ende des zweiten Vektor bis zum Ende des ersten Vektor angezeigt. Wenn man zwei Vektorwerte hinzufügt (subtrahiert), summieren (subtrahieren) sie sich nur, wenn die Vektorwerte kollineare und gleichgerichtete Werte haben.

In der Regel trifft jedoch die Dreiecksungleichheit zu: Der Vektor kann mit realen Werten vervielfacht werden (oft auch Skalen zur Unterscheidung von Vektor werten genannt) (skalare Vervielfachung, auch S-Multiplikation genannt): Die Größe des sich ergebenden Vektor ist . Bei positivem Skalenwert weist der sich ergebende Vektor in die gleiche, bei negativem Wert in die entgegengesetzte Richtung. 2.

Bei der Vektordarstellung und Vervielfachung mit einem Scalar ist das Verteilungsgesetz anzuwenden: Es trifft auch auf die Hinzufügung von zwei Scalars zu, bei denen der zwischen den beiden Vektorgrafiken liegende Wert der Winkelstellung ist (siehe auch Cosinus). Wenn die beiden Vektorlinien senkrecht zueinander liegen, ist das skalare Produkt Null. Dieser Vorgang wird in der Bauphysik häufig verwendet, um z.B. die Arbeiten zu errechnen, wenn die Kraftrichtung nicht mit der Laufrichtung zusammenfällt und der von den beiden Bewegungsvektoren umschlossene Drehwinkel hier genannt wird.

Aus dem Kreuzungsprodukt zweier kollineare Vektorlinien resultiert der Null-Vektor. Das kartesische dreidimensionale System kann das Querprodukt wie folgt berechnet werden: es wird als Holmprodukt betrachtet. Seine Höhe ist das von den drei Sektoren überspannte Holmvolumen. Wenn die drei Faktoren ein juristisches System darstellen, ist es ein Plus. Bei linearer Abhängigkeit der einzelnen vektoriellen Einheiten, .

Bei kartesianischen Koordinatensätzen kann die Vektorenlänge nach dem pythagoräischen Lehrsatz ermittelt werden: Sie kann auch in einer anderen Notation als Basis des Skalarproduktes angegeben werden: Vektor der Baulänge 1 werden als Einheitenvektoren bezeichnet. Wenn ein Vektor die Größe 0 hat, ist es der Null-Vektor. Die dyadischen oder tensorialen Produkte oder (gesprochen als „a dyadic b“) von zwei Vektorformen bilden eine DYAD.

Ein Vektor kann mit Hilfe von Diaden auf einen anderen Vektor umgerechnet werden. Dabei wird der Teil eines Vektor in Vektorrichtung in Vektorrichtung geholt und gedehnt oder komprimiert. Das Mapping erfolgt mit dem oben genannten skalaren Produkt: Im kartesianischen Raum können Sie das Dyadenprodukt wie folgend berechnen: aber verteilend mit Vektoraddition: Es ist auch kompatibel mit skalarer Multiplikation: Das Dyadenprodukt erzeugt eine neue Objektklasse der Linearalgebra, der Matrix und der Linearbilder, je nachdem, ob es im Koordinaten- oder Vektorenraum berechnet wird.

Neben der hier als Spaltenvektor dargestellten Notation können auch vektorielle Darstellungen in Komponenten-Notation erfolgen. In der Regel stehen die Einzelkomponenten des Vektor für die Standard-Basis. Dies ermöglicht es, die auf die Default-Basis bezogenen Operationen wie folgend zu schreiben: Sehen Sie auch den untenstehenden Absatz #Koordinaten und Bestandteile eines Vektor. Bei der Generalisierung der Koordinatenrepräsentation von Geometrievektoren werden Bestandteile von“-Tupeln von reellen Werten als Vektor betrachtet, wenn damit die für den Vektor charakteristischen Additions- und Skalar-Multiplikationsoperationen ablaufen.

Das Addieren von zwei Vektor arten und die Skalarmultiplikation eines Vektor mit einer Anzahl werden Komponente für Komponente definiert: Das Set formt mit diesen Links einen Vektor-Raum über dem Text. Der so genannte Koordinaten-Raum ist das Standard-Beispiel für einen dreidimensionalen Vector-Raum. Ein Vektor wird durch die Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst bestimmt:

Vektor () werden als lineare Abhängigkeit bezeichnet, wenn es eine Formel gibt, für die nicht alle Faktoren zutreffen: Wenn jedoch keine Faktoren gefunden werden können, die diese Voraussetzung erfuellen, dann werden die Faktoren als lineare Unabhängigkeit bezeichnet. Die Nullvektoren sind lineare Abhängigkeiten, jeder andere Vektor ist lineare Abhängigkeiten.

Bei linearer Abhängigkeiten kann zumindest einer der beiden Vektorformen als lineare Kombination der anderen dargestellt werden. Zur Definition eines Koordinatensystems für einen dreidimensionalen Bereich benötigen Sie exakt lineare, voneinander unabhängig arbeitende Sockelvektoren. Danach können Sie jeden Vektor dieses Raumes auf einzigartige Art und Weise als lineare Kombination der Grundvektoren ausgeben. Es sind immer mehr als nur vektorielle Größen im dreidimensionalen Bereich lineare Abhängigkeiten gegeben. Denn einer ist erfüllbar.

Die beiden Vektorformen werden als rechtwinklig bezeichnet, wenn ihr skalares Produkt verschwindet: Für geometrische Vektorformen mit positiven Längen heißt das, dass sie einen rechten Winkel umhüllen. Die Nullvektoren sind rechtwinklig zu den einzelnen Sektoren. Ein Vektor ist dann das skalare Produkt des Vektor mit den Basisvektoren: So kann jeder Vektor als lineare Kombination der Grundvektoren durch Schreiben als Summen seiner Bestandteile relativ zur Base wiedergegeben werden: Die einzelnen vektoriellen Einheiten sind in der Lage, sich gegenseitig zu beeinflussen:

Der Vektor erhält durch den Übergang zu einer anderen orthonormalen Basis andere Koordiat: Der Vektor erhält andere Koordiat: die Koordinatennorm: die Koordinatenwerte: 1: Generell können drei willkürliche, aber lineare voneinander abhängige Vektorräume als Basis verwendet werden. Der Vektor in der Linearalgebra als Bestandteil eines Vektorraums ist viel umfassender definiert und enthält neben den konventionellen Geometrievektoren eine Vielzahl von mathematischen Objekten (Zahlen, Sequenzen, Funktionalitäten und Transformationen).

Auf der anderen Seite sind es aber nur Einstufentensoren, d.h. solche mit nur einem Zeigefinger. Physikalisch werden physische Grössen, die einen Wert und eine Ausrichtung haben, als Vektor des äuklidischen Raumes verstanden. Sie können mit Skalargrößen verglichen werden, die nur einen Wert, aber keine Ausrichtung haben, wie z.B. Vol.

Dieser Blick auf gerichtete physikalische Grössen als Vektor ist eine Applikation von Geometrievektoren. Die Verschiebungsrichtung wird durch die Bewegungsrichtung der physischen Grösse ersetzt. Ihre Höhe korrespondiert mit der Verschiebung eines Geometrievektors. Das Darstellen solcher Grössen durch eine bestimmte Pfeillänge verdeutlicht sowohl deren Ausrichtung als auch deren Grösse. Alles, was bereits über Geometrievektoren gesagt wurde, trifft folglich auch auf die vektoriellen Grössen in der Physik zu, besonders was über arithmetische Operationen und grafische Darstellungen gesagt wurde.

Gleiches trifft zu, wenn sie als Vektor betrachtet werden. Vektor-Summen sind in der Statistik von überragender Wichtigkeit, z.B. bei der Bestimmung des Kräftegleichgewichtes. Die skalare Produkt wird eingesetzt, wenn die Projektierung eines Vektor in die andere Seite des Bildes entscheidend ist. Das skalare Produkt ist auch für die Komponentenzersetzung eines Vektor relevant.

Für das skalare Produkt und das Querprodukt wird die Maßeinheit der sich ergebenden physischen Menge durch Multiplizieren der Maßeinheiten beider Größen berechnet. Wenn ein physischer Vektor selbst eine Abhängigkeit vom Ort ist, wird von einem Vektorenfeld gesprochen. Sie kann durch Halbbildlinien dargestellt werden, deren Tangens zur Halbbildlinie die Ausrichtung des Vektor anzeigt.

Die Höhe des Vektor wird durch die Anzahl der Linien wiedergegeben. Die Vektoranalyse hat sich als extrem wichtig für die mathematische Bearbeitung von Feldern, z.B. in der Elektro- oder Strömungstechnik, erwiesen. Vektorgrößen wie die Quadraturgeschwindigkeit oder der Quadraturimpuls werden hier entsprechend als 4-dimensionale Vektorgrafiken abgebildet.

Auch in der Bauphysik sind sie (!) durch ihr Umwandlungsverhalten beim Wechseln von Referenzsystemen gekennzeichnet. Abhängig vom Umwandlungsverhalten unter Punktreflexionen des Standortes wird zwischen Polar- und Achsvektoren, in der alten Fachliteratur auch Scher- und Rotationsvektoren genannt[14], unterschieden: Bei der Spiegelung der Raumpunkte in äuklidischen Räumen ändert sich jeder Vektor in sein Negativ, während die Achsenvektoren beibehalten werden.

Polar- und Axialvektoren sind aufgrund ihres verschiedenen Umwandlungsverhaltens Bestandteile unterschiedlicher Vektorenräume. Die Kreuzung ist als bilineares Bild zweier vektorieller Zwischenräume in einem dritten zu sehen. Das Transformations-Verhalten unter der isometrischen Gruppe der korrespondierenden Messgröße des zugrundeliegenden Raums ist für das physikalische Vektor-Konzept von großer Wichtigkeit. Bei diesen Räumen handelt es sich um Verteiler, in denen Vektorvektoren gegenläufige Erststufentensoren repräsentieren, die ihr Umwandlungsverhalten bestimmen.

Es sind nicht alle Vektorformen im Raum Teil von vier Vektorformen. Viele Partikelsysteme mit n Partikeln werden mit Hilfe von Vektorvektoren in 3n-dimensionalen Vektorenräumen beschrieben, auf die die dreidimensional rotierende Gruppe separat einwirkt. Multipartikelsysteme von n Partikeln werden durch Vektorräume in 3n-dimensionalen vektoriellen Räumen beschrieben, oder – in der Hamilton’schen Physik – im 6n-dimensionalen Phasenkreis, der nicht nur die räumlichen Koordinaten, sondern auch die Pulskoordinaten enthält.

Abschließend werden die Aggregatzustände der quantenmechanischen System als Vektor in Funktionsräumen wiedergegeben.