Kennst du das Pascal-Dreieck? Eines der interessantesten Themen der Mittelstufe ist die Entdeckung und Erforschung des Pascal-Dreiecks. Wir erklären Ihnen, wofür Sie das Pascal-Dreieck benötigen und liefern Ihnen geeignete Beispiele zum besseren Verständnis. Der Artikel gehört zum Bereich der Mathematik. aus dem Pascal-Dreieck. Die Ausdrücke sind auch die Zahlen von Pascals Dreieck.
Das Pascaldreieck
Daraus resultieren exakt die binomialen Koeffizienten. Seinen Namen hat er von Tony J. P. Blaise mitbekommen. Allerdings war das Pascal-Dreieck bereits in früheren Zeiten bekannt und ist daher auch heute noch nach anderen Mathematikerinnen und Mathematiker genannt. Der älteste ausführliche Bericht über ein Dreieck von binomialen Koeffizienten wurde im 10. Jh. in Anmerkungen zur Schastra in Indien veröffentlicht, einem Werk über die Sanskritprosodie, das von Paul II. zwischen dem fünften und zweiten Jh. v. Chr. verfasst wurde.
Obwohl die Arbeit von Pingala nur in Bruchstücken bewahrt wurde, nutzte der Berichterstatter Halajudha das Dreieck um 975, um auf den “ Treppen des Monte Méru “ fragwürdige Verbindungen zu Meru-prastaara aufzustellen. Auch war bereits bekannt, dass die Addition der Flachdiagonalen des Dreieckes die Fibonacci-Zahlen ergibt. Die ersten 17 Linien des dreieckigen Bildes wurden vom Inder des Mathematikers Brahattotpala (ca. 1068) stammen.
Das Pascal-Dreieck in Persisch wurde etwa zur selben Zeit von al-Karaji (953-1029) und Ömar unter der Bezeichnung Omar1) bearbeitet und ist daher im modernen Islam als Chayyām-Dreieck bekannt. Über das Dreieck waren mehrere Theoreme bekannt, darunter das Binomialtheorem. In der Tat ist es recht gewiss, dass die Methode zur Ermittlung der -th root auf der Basis der Binomialerweiterung und damit der binomialen Koeffizienten benutzt wurde.
Das Dreieck wurde 1531/32 von Petr P. E. P. I. auf dem Umschlag seines Buches über Handelskalkulationen veröffentlicht, dessen ältere Fassung von 1527 der erste schriftliche Beweis für das Pascal-Dreieck in Deutschland war. Im Jahre 1655 verfasste er das Werk „Traité du dreieck arithmétique“ (Abhandlung über das rechnerische Dreieck), in dem er diverse Resultate über das Dreieck zusammenfasste und sie zur Lösung von Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung nutzte.
Später wurde das Dreieck von den Herren P ater Reimond van Mont Mort (1708) und P aterra d‘ Moire ( „Abraham von Moiwre“, 1730) nach dem Namen P atera genannt. Die nächste, vierte Linie enthält die Faktoren 1, 3, 3, 3, 1 für: Diese Liste kann wie gewünscht fortgeführt werden, wenn man bedenkt, dass das Minus-Zeichen immer von “ “ für das Binomial genommen werden muss und dass, während der Vertreter von in jeder Formeln immer um 1 sinkt, der Vertreter von 1 steigt.
Der Binomialsatz bietet eine Generalisierung mit jedem möglichen Vertreter die Zeichen – und ein + regelmässig aus (es gibt immer ein negatives, wenn der Vertreter ungeradzahlig ist). Dies bedeutet zum Beispiel: Eine flächige Generalisierung ist das Trinomiale Dreieck, in dem jede Ziffer die Addition von drei (anstelle von zwei in Pascals Dreieck) Eingaben ist.
Ein Ausläufer in die dritte Ebene ist die Pascalpyramide. Das Pascal-Dreieck enthält viele der bekannten Nummernreihen. die regulär dargestellten Nummern der Bestellung. Die Reihenfolge der Teilsummen ist in jeder Diagonalen die Reihenfolge, die in der Diagonalen darüber steht. Im Umkehrschluss ist jede Diagonalfolge die Reihenfolge der Unterschiede zur untenstehenden Reihenfolge in der Diagonalen.
Bei diesem Beispiel ist die Gesamtheit der Diagonalen grün gleich 13, die Gesamtheit der Diagonalen rot gleich 21, die Gesamtheit der Diagonalen blau gleich 34, wobei es irrelevant ist, dass die „Diagonale“ nicht immer von einem Ende zum anderen „überquert“ werden kann, wie bei der Rotdiagonalen. Dabei wird die Gesamtsumme der Zeilen als Zeilenzahl angegeben.
Die Reihensummen von oben nach unten werden von Reihe zu Reihe verdoppelt. Das kommt vom Erziehungsgesetz des Pascal-Dreiecks. In der Folgezeile wird jeder einzelne Zeileneintrag für die Ermittlung von zwei Einträgen ausgenutzt. Hier muss das Gesetz der Erziehung verallgemeinert werden, indem man die imaginären Nullstellen am linken und rechten Rand jeder Linie hinzufügt, so dass auch die äusseren jeder Linie durch Hinzufügung der obigen Angaben erzeugt werden.
Weil die Summe der ersten Reihe eins ist, ist die Summe der Reihen der -ten Reihe gleich . Für binomiale Koeffizienten gilt folgendes Gesetz: Werden die Zahlen der ersten fünf Linien des Pascal-Dreiecks aneinandergereiht, ergeben sich die ersten 11er-Potentiale mit 1, 11, 121, 1331 und 14641. Aus dem Binomialsatz für x=1, x=10 und x=-1 ergeben sich formell die drei oben genannten Gleichungen Die Reihenfolge der durchschnittlichen binomialen Koeffizienten fängt mit 1, 2, 6, 20, 70, 252, …. an (Sequenz A1000984 im OEIS).
Der Pascal-Dreieck ist mit dem Sierpinski-Dreieck verbunden, das 1915 nach dem Namen des Mathematikers aus Polen namens“ Wacław“ genannt wurde. Die beiden Triangeln benutzen eine simple, aber leicht abweichende Iterationsregel, die eine gewisse Geometrieähnlichkeit erzeugt. Bei Mächten mit einer beliebigen Grundlage gibt es ein Dreieck anderer Art: Diese Dreieckmatrix wird durch Umkehrung der Koeffizientenmatrix derjenigen Begriffe erhalten, die die Verknüpfungen ohne Formwiederholung für usw. wiedergeben.
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