Addition, Multiplikation, Matrixinvertierung, Berechnung, Determinante und Rang, Transposition, Reduktion auf Diagonale und Dreiecksform, Lösung des linearen Gleichungssystems. Sie können hier kostenlos die Matrix-Multiplikation mit komplexen Zahlen online durchführen. Matrizen können aber nicht nur zweidimensional sein, sondern auch eindimensional (Vektoren), so dass man auch Vektoren oder Vektoren mit Matrizen multiplizieren kann und umgekehrt. Asymmetrische Matrix – Determinante – Inverse Matrix – Multiplikationsmatrix – Transponierte Matrix. Mit meinem Online-Rechner können Sie Matrizen multiplizieren:
Multiline Rebression
Bei der multiplen linearen Regression handelt es sich um eine direkte Linearregression mit mehreren voneinander unabhängig arbeitenden Größen wie z. B. der Variable j. Hier werden die Formeln für den Achsabschnitt und die Gradienten für den allgemeinen Anwendungsfall berechnet und die Konfidenzintervalle für den monodimensionalen Anwendungsfall abgeleitet. Zuerst wird die Matrixnotation anhand eines Beispieles mit 3 voneinander unabhängig arbeitenden Größen (x1, 2, 3) dargestellt, dann wird ein Beispiel mit einer voneinander unabhängig arbeitenden Größe schrittweise inklusive Konfidenzintervallen berechnet.
Die Gleichung für das Beispiel der multiplen linearen Regression mit 3 voneinander unabhängig arbeitenden Größen und vier Teilmessungen lautet: 1: y3 steht hier z.B. für den dritten Meßwert der einzig unselbständigen Größe y und z.B. x42 für den vierten Meßwert der selbständigen Größe x2 Die oben genannte Matrizengleichung kann in Matrizenschreibweise wie nachfolgend beschrieben vereinfacht werden:
Mehrfach-Linearregression: QS-Fehler ist nur ein weiterer Begriff für Summen (ei2) und hier ist nichts anderes als e12+e22+e32+e42 Der Wert für den Wert des Messwertes ist der Wert e. Bei der Matrixnotation sehen diese wie folgt aus: . ist, e, y und b sind Vektoren. Entscheidend dabei ist, dass diese Formel für die linearen Modelle mit einer beliebigen Anzahl von voneinander abhängigen Größen zutrifft.
Die zu entwickelnden Resultate können mit den „speziellen“ Berechnungsregeln der Matrixnotation vergleichsweise leicht erzielt werden, ohne sich mit dem fast unübersichtlichen Geröllhaufen der herkömmlichen Notation auseinandersetzen zu müssen. Letztes multipliziertes Ergebnis in . Im oberen Trickkasten der Matrix-Algebra steht folgender Zusammenhang: Hier ist Det(A) die Bestimmungsgröße von Ar, (Aij) ist eine Matrix mit so vielen Reihen und Säulen wie Amp.
Die Zusätze sind die so genannten Zusätze von AAij ist die mit ( (-1)(i+j) der Matrix AA mal genommene Bestimmungsgröße mit der i-ten Reihe und der j-ten Säule. Jetzt soll der Autorisierungsgrund für die vereinfachte Matrixnotation mit all ihren „speziellen“ Berechnungsregeln deutlich werden. und multiplizieren Sie schließlich das Resultat (->Vektor) mit (XTX)-1 (->Vektor b).
Berechnen der Konfidenzintervalle der Berechnungsparameter des Modells dj Die Varianz-Kovarianzmatrix der Berechnungsparameter dj wird wie nachfolgend beschrieben errechnet. Aus der mit dem Buchstaben ba dargestellten Varianz-Kovarianzmatrix ergibt sich nach einigen Berechnungsschritten schließlich folgende Form: Var(b0) zum Beispiel bezeichnet die sich aus der Abweichung der Reste ei ergebende Abweichung des Wertes ba0. Kov (b0,b1) bezeichnet die allgemeine kovariante der beiden Größen. Die Varianz-Kovarianzmatrix gibt die Gesamtvarianz der Größen der beiden Größen an.
Bei der anschließenden Ermittlung der Konfidenzintervalle sind die Konfidenzintervalle der Größen bj bezogen, d.h. sie sind aufgrund der Kovarianten nicht von einander abhängig. Im flächigen Falle (1 eigenständige Größe, 2 Parameter: a) kann man sich diese als Vertrauenellipse denken, im flächigen Falle (2 eigenständige Größen, 3 Parameter: a) als Vertrauenellipsoid.
Selbstverständlich können auch vereinzelte Konfidenzintervalle für die einzelnen Größen berechnet werden dj. Wenn Sie jedoch keine Informationen über die Konfidenzintervalle der übrigen Kenngrößen haben, dann erhalten Sie im flächigen Falle ein Konfidenzrechteck, im flächigen Falle einen Konfidenzquader. Hierbei wird klar, dass die „Überlagerung“ der separat ermittelten Konfidenzintervalle zu große Konfidenzintervalle bereitstellt.
Gleiches trifft auf dreidimensionale und hochdimensionale Vorgänge zu. kann auch wie folgt dargestellt werden: y,b und e sind Vektor, wobei es sich bei Y um eine Matrix handelt. auch wie folgt: d. h. d: d: d: d: d: eT: so: eTe: ist die umgekehrte Matrix zu dieser. Außerdem wird die Berechnung von (XTX)-1 erläutert. Diese haben ihre Ursachen in den Scattern der (normalverteilten) Reste und sind daher auch normal verteilt.
Weil die Scatter jedoch aus den Angaben errechnet werden und nicht von vornherein bekannt sind, werden die Scatter t-verteilt. Jetzt aber sind die beiden Größen bezüglich der Verteilung zusammenhängend, d.h. sie zerstreuen „zusammen“. In den meisten Anwendungsfällen der (mehrfachen) Linearregression wird der Wert auf =0 eingestellt, d.h. es wird geprüft, ob die Werte des Modells deutlich von denen des Nullpunktes abweichen (d.h. das Model hat überhaupt seine Berechtigung). die „fertige“ berechneten Werte des Regressionsparameters und s die Werte der Ausgabewerte.
Im multidimensionalen Falle erhalten wir Hotellings T2: Hier ist es eine “ generalisierte “ Varianz: die Varianz-Kovarianzmatrix. Auch bei der Ermittlung der umgekehrten Matrix von S 2 gelten die oben genannten allgemeinen Beziehungen für Matrizen: Nun werden die Schwellwerte für S 2 nicht mehr tabellarisch dargestellt. Allerdings besteht eine „angenehme“ Relation zur F-Verteilung: So stellen die Lösungsansätze der Formel das übliche Konfidenzintervall der Kenngrößen dar d. h. diese Formel ist von der Ordnung her gesehen und beinhaltet alle Bindungen.
In dem vier-dimensionalen Falle (3 voneinander unabhängigen Größen -> 4 Größen b0,b1,b2,b3) werden b02, b0b1, b0b2, b0b3, b, b12, b1b2, b1b3, b22, b2b3 u. b32 errechnet. Das Beispiel ist für ein anschauliches Verständnis ausreichend simpel, aber bereits umfangreich genug für die Arbeit in Matrixnotation.
Der weitere Pluspunkt des Beispieles der Linear-Einzelregression besteht darin, dass alle wichtigen Ergebnisse auch ohne Matrixnotation relativ anschaulich dargestellt werden können, so dass eine Referenz auf die an anderer Stelle berechnete Linear-Einzelregression in „konventioneller“ Form möglich ist. Unglücklicherweise sind die Gesetzesvorlagen jedoch sehr aufwendig. Vorgegeben sind 4 Wertpaare (x|y), für die eine vereinfachte Linearregression mit Konfidenzintervallen der beiden Parameter des Modells (Steigung b1 und Achsabschnitt b0) durchführbar ist.
Ermittlung der Optimalparameter b0 und b1 Da es nur eine einzige eigenständige Größe (x) gibt, kann der zweite Wert weggelassen werden. In diesem Fall ist Det(A) die Bestimmungsgröße von Array, (Aij) ist eine Matrix mit so vielen Reihen und Säulen wie Array. Die Zusätze sind die so genannten Zusätze von AAij ist die mit ( (-1)(i+j) der Matrix AA mal genommene Bestimmungsgröße mit der i-ten Reihe und der j-ten Säule.
Um das linke obere Ende der Inversmatrix zu bestimmen, werden die Zeilen und Spalten des rechten unteren Elements (1+1+1+1+1+1) gelöscht. Die mit ( (-1)(1+1) multiplizierte Bestimmungsgröße liefert das eigentliche Teil. Die Bestimmungsgröße einer 1×1-Matrix, also einer simplen Nummer, ist diejenige selbst. Dieser wird dann mit der folgenden Formel multipliziert: Wenn Sie den richtigen Teil dieses Begriffs in der allgemeinen Formel schreiben (d.h. nicht 4 Messungen), ist das Ergebnis für die Formel für die Formel für die Formel für die Formel für die Formel für die Formel für die Formel b gleich: dies ist ein Begriff, der 2 Formeln enthält:
Wenn Sie den Begriff (3) multiplizieren, erhalten Sie: . Ermittlung der Konfidenzintervalle von b0 und b1 errechnet, Statt dem Begriff 1/(n-m-1)*eTe, der nichts anderes ist als die Abweichung der Reste, wird nun der Fehler b2error geschrieben. Der Unterschied von b0 allein ist „Die Varianz-Kovarianzmatrix ist, wie oben beschrieben, eine generalisierte Variante, auch bekannt als S3.
Im Beispiel j=2 (2 Kenngrößen, also 2 x 2, 1 x 1) und n=4 (4 Messwerte). Bei den folgenden Schritten bleibt jedoch generell nichts anderes übrig. à ist das Bedeutungsniveau oder die Eintrittswahrscheinlichkeit, mit der die „wahren“ (aber unbekannten) Kenngrößen b0 und b1 innerhalb des zu ermittelnden Konfidenzintervalls liegt. à ist in der Regel 90% oder größer.
Erinnern wir uns zunächst an die Berechnung der inversen Matrix (wie oben beschrieben): wobei Det(A) die Bestimmungsgröße von Ar ist, (Aij) ist eine Matrix mit so vielen Reihen und Säulen wie Amp. Die Zusätze sind die so genannten Zusätze von AAij ist die mit ( (-1)(i+j) der Matrix AA mal genommene Bestimmungsgröße mit der i-ten Reihe und der j-ten Säule.
Bei den Konfidenzintervallen war die Formel „mit j=2. Das hat die Form: Es handelt sich um eine Quadratform von 2 voneinander abhängigen Größen der Formel 1 und 2. Aus der Zahl n der Messwerte und dem zu bestimmenden a resultiert auf der rechten Hälfte ein fixer Zahlenwert. 2. c 0 und b 1 müssen nun so gewählt werden, dass die Formel erfüllbar ist.
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